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| 講師： |
織田孝幸（おだ・たかゆき） |
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楠岡成雄（くすおか・しげお） |
| 日時： |
2006年１２月１１日 |
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| 数学カフェ 「確率の話」 |
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三井：皆さん、今晩は。12月も10日が過ぎて、お忙しい時期だと思いますが、お寒いところをよく来て下さいました。拝見しますと、お馴染みになった方も多いようですが、初めての方もいらっしゃいますので、この会について簡単に説明させて頂きます。
このカフェ・デ・サイエンスの主旨は、専門家の方とそうでない方とが、一つのテーマについて話合う場を提供するというものです。専門家の方に最新の知識を教えてもらおうという場ではなくて、皆さんが思っていることや考えていることをどんどん話して頂き、専門家とのやりとりの中から、科学者の考え方や、科学的にモノを考えるという雰囲気を、少しでも感じ取って頂ければよいと考えています。
今日のテーマは「確率の話」です。数学カフェはこれで六回目になりますが、専門家として、最初の会から来て下さっている織田さんと、確率がご専門の楠岡さんに来て頂いています。後ほど、自己紹介を兼ねて、お話をして頂きます。
実は、皆さんには何を話して下さっても構わないと言いながら、取り留めがなくなっても困りますので、今日は次のように話を進めたいと思っています。
毎回、お話がどういうふうに展開するのか予想がつかなくて困るのですが、予め皆さんにどのようなことが聞きたいかを書いて頂いているのが大変参考になっています。それを拝見しますと、今回は、「確率とは何か」とか、「金融関係や日常起こる事象に対して、確率をどのように応用できるのか」というのが多かったように思います。そこで、最初は、一応、確率論とはどのようなものかが何となく分かるようなお話にして、後半は、その応用のほうにして頂けると有り難いと思います。
ここは、皆さんに美味しいものを提供する場でもありますので、召し上がるものを用意致しました。時間が時間ですので、お腹もお空きでしょうし、お腹が空くと刺々しくもなるでしょうから。また、初めてお隣に座った方と仲良くなって、後で発言しやすくなるという効果もあるのではないかと思いますので、先ず、召し上がって頂く時間をとります。どうぞ、お召し上がり下さい。
（食事休憩）
三井：始めます。ここでは、皆さんの写真を撮らせて頂いています。それを後でホームページに載せることがありますので、写真を撮られたくない方は申し出て下さい。
では、先ず、織田さんから、何故このテーマを選ばれたかということも含めて、簡単にお願いします。
織田：織田でございます。今回のテーマについて、最初は、証明の話にしようかと思っていました。しかし、証明は少し難しいような気もして、同僚とも相談したのですが、数学で、最近、一番使われているのは確率論ではないかと。統計学というのもありますね。そこで、そういう話を一度聞いて頂きたいということなのです。
楠岡さんは、私の同僚ですが、確率論を専門にしています。その応用として、ファイナンスというのがありますが、何年か前に、彼は、ファイナンスを自分のライフワークにするとか言っていましたから、皆さんもそういうことには関心があるのではないかと思います。私も専門家ではないので、今日は聞き手に回ろうかと思います。よろしくお願いします。
私は1968年に大学に入学しましたが、その頃、確率論は大学の数学科の教育の中では継子扱いされていて、どちらかというと周辺という感じでした。最近はずいぶん雰囲気が変わりまして、今年、伊藤清先生がガウス賞を貰われたということもあり、今世紀は確率論が大事になっていくと思いますので、その触さわりというか入り口のところをお聞きになるのも、今後の役に立つのではないかと思います。
三井：ありがとうございます。では、楠岡さんにお願いします。
楠岡：楠岡でございます。こういう会があるから話してくれないかと言われて引き受けましたが、そのときは、普通の講演会のつもりで、だいたいこんなことを喋るのかなと思って、今日お配りした資料を作りました。ところが、財団の方にお会いしましたら、どうも、そういう話じゃないと（笑）。折角作ったのだから配りましょうということになりましたが、話の種が尽きたら使うということで・・・。
私自身は、数学を志したときに、応用ということに興味がありまして、何となくいろいろなことをやっていくうちに、確率論を研究するようになりました。確率論は広範囲に使われていますが、確率とは何かというのは、実はよく分からないのです。アメリカでは、哲学の中で確率をやっている方がたくさんおられます。一度、京都大学の文学部の先生で確率論の専門家だという方と話したことがありますが、全く話が合いませんでした（笑）。
最近では、確率とは本来関係のない問題を、確率を使って解いていくということが盛んに行われています。また、乱数を使った確率論的な暗号というのもあります。
織田：乱数とは何かを説明して下さい。
楠岡：無作為にサイコロを振って、出た目を次々につけていく。こういうのが素朴な乱数ですね。それに対して、乱数の定義というときは難しくなります。たとえば、私がサイコロを100回転がして、1の目が100回出たとします。そこには確率があるわけですが、これは乱数ではないと言われてしまうかもしれませんね。実は、20世紀の初め頃に、フォン・ミーゼス（Richard
von Mises, 1883-1953）という人が、乱数という概念を数学的に定義しようとしました。彼の定義は、「規則の無い数列を乱数にしましょう」という簡単なものですが、これには少し無理があります。皆さんが乱数だと思うものを書いてみて下さい。私は、その中にある規則を言い当てることができます。たとえば、3番目と7番目に0がある規則という具合に、何らかの規則があると主張することは可能です。それが規則であるかどうかは別として、規則であると主張したときに、反論できないということになるわけです。
この後、ワルト（Abraham Wald, 1902-1950）によって、「計算可能な規則の無い数列を乱数だと定義しましょう」ということになりました。計算機科学のなかに、万能チューリングマシンという概念があって、それは、あらゆる計算機で作り出せる数列を作ることができます。そういう計算機を使っても、規則が見いだせない数列が乱数だというわけです。これは乱数の、数学的に一番良い定義であります。
ところが、私たちが確率を使うときには、乱数を用いて計算しようとします。そのときに、乱数を高速に発生させる必要がありますから、コンピュータで乱数を作るという話が出てきます。しかし、ワルトの考え方によれば、コンピュータでは絶対に乱数を作れないはずです。ここにきて、乱数の定義は役に立たないから、新しい乱数の概念を作ろうという話がでていますが、これはまだまだ難しいようです。
三井：やはり、たちまち難しいお話に突入してしまいましたね。
＞＞＞乱数には規則が無いというお話ですが、私が勝手に乱数を作ることはできないのでしょうか。
三井：素数の出方には規則性が無いわけですから、素数を並べていけば乱数になりますか。
楠岡：素数には規則があるわけです。たとえば、素数のところは1、素数でないところは0とすると、ある場所が1か0かというのは、素数かどうかで判定できるわけです。一番素朴な乱数は、1と0を並べたときに、1/2の確率で1と0が現れるものです。実は、素数の部分だけを取り出しても乱数だったというのは、一応、乱数の定義の中に入っています。平方数でもそうですが、そこだけ取り出しても、やはり乱数だと言えるようなものでないといけないわけです。
有限列で乱数を作るのは不可能ですね。素数にしても平方数にしても、それを判定するアルゴリズムがありますから、計算可能な部分列といわれます。しかし無限列であれば、頻度は半分になります。そういう無限列のものを乱数だとしたのが、コルモゴロフ（Andrey
Kolmogorov, 1903-1987）の乱数の定義なのです。しかし、私たちは無限に数字を書いていられませんから、有限列における乱数とは何かということになりますが、実は、ものすごくややこしい議論がいろいろあります。
実際には、数列が100個並んでいるときに、それが乱数かどうかを問われても、分からないとしか言い様がありません。ただ、明らかに頻度が偏っているときは、乱数とは認め難い。だから、定義は、本当の意味では存在しません。
素数というのは、素数かどうかの判定は難しいのですが、計算可能ですね。難しいのと計算可能だというのは別問題です。コンピュータでも解けない問題というのはあります。そういう類いの部分列に対しては、たとえ乱数でなくても、乱数にしましょうというのが現在の乱数の定義です。
＞＞＞乱数というのは、神出鬼没と言いますか、そういう出方を含むものではありませんか。一つの数で乱数は作れませんから、1から無限大までの拾い方が無秩序であれば乱数なのかどうかということですが。
楠岡：無秩序とは何かというのが非常に難しい。一見無秩序に見えても、ある種の秩序は見いだせる。つまり、秩序があるかないかを、どう定義するかに依るわけですね。
たとえば、0と1を並べた100桁の暗証番号があるとします。この場合、並べ方は、2の100乗くらいありますから、容易に規則は発見できませんが、「極めて早くその数に到達できる場合は秩序があることにしよう」というのがコルモゴロフのアイデアです。ただ、最初に1と言って、そこに1があれば、最初から見つかるのではないかということにもなりますので、そこは巧妙に手を変え品を変えしながら、数学者は定義しているのです。
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