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講師： 織田孝幸（おだ・たかゆき）
新井仁之（あらい・ひとし）
日時： 2006年１１月８日 |
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| 数学カフェ 「無限を極める」 |
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三井：タイルや砂粒というような具体的なモノを使ったお話で、 実体を考えてはいけないところが難しいのではないかと思います。
＞＞＞面積というのは、基本的に点の集まりだということで、静的なものですよね。これは、私の勝手な思い込みですが、
線は点の運動で、面は線の運動で、体積は面の運動だというように、動的に考えることはできないものでしょうか。
新井：運動ということは、あまり考えていないと思います。例えば、区間［0, 1］を考えて、その中から有理数だけを抜き取ると、
その長さは0になります。無理数全部を取ってくると、その長さは1になります。そういうふうに、有理数全体のなす点からなる図形というのもあって、
線が動いてつくる面だけを考えればよいというわけではありません。
織田：物理では、例えば、作用は力と時間の積を考えて、積分で計算しますから、動的に考えるというのは完全に正しい。
しかし、我々は、もう少し「病的」な話をしているんです。トポロジカルに。
数学者は、普通の人が考えないような虫食いだらけの穴の開いた変な図形というのが気になるわけですよ。
実用的な微積分は、もうニュートンの時代にはやっていて、ある意味で完成している。だけど、研ぎすましていくと、いろいろ問題がでてくるんです。
そういうのをどうやって解決するか、そういうレベルの話です。
古い微積分は、少なくとも高校から大学のレベルで教えるので、ここでは、現代の数学に近い話をということで、敢えて、
訳の分からない無限の話や無限に穴が開いている図形の話なんかをしているわけです。
＞＞＞高校で習った積分を使って出した値とルベーグ積分を使って出した値との間に、本質的な違いはあるのでしょうか。
新井：有限区間上のリーマン積分可能な関数に対しては、 高校で習った積分（リーマン積分）とルベーグ積分とは同じになることが証明できます。ただ、リーマン積分できない関数もあります。
それは、区間［0, 1］の上で定義された関数で、有理数の上では1になって、無理数の上では0になるような関数ですが、
これはリーマン積分できませんがルベーグ積分で計算すると、その値は0になります。有理数も無理数も無限個ありますが、積分は0になります。
＞＞＞それは、平たく言うと、無理数がすごく多くて、有理数がすごく少ないということを、
すごく厳密に難しく言ったということなんでしょうか。
三井：それが、なぜ面積なのですか。
新井：今は一次元の線上の話なので、面積というよりは長さです。無理数も有理数も無限個ありますが、
無理数の無限のほうが大きくて、有理数の無限のほうが小さい無限です。実は、無限にもいろいろな無限があります。
一番小さい無限は、可算無限といって、数えることができる無限です。自然数全体からなる集合は、1、2、3・・・と数えて無限大になりますね。
番号が付くということで、可付番無限ともいいます。無理数の場合は非可算無限といいます。先に番数のペアをつくるいう話をしましたけれど、
有理数と無理数でペアをつくっていくと、どんな作り方をしても、一人でダンスを踊らなければいけない無理数がたくさん出てきてしまうんですね。
先程、区間[0,1]内の無理数全体からなる集合の長さは1だと言いましたが、[0,1]内の非可算無限の点の集合が全部長さは1になるかというと、
実は、ゼロになるものもあります。それはカントール集合と呼ばれていますが、先ず、区間［0,
1］を3等分します。 次に、真ん中の3分の1を抜きます。 そうすると、長さが1/3の線分が二つできますね。さらに、それぞれの線分の3分の1を抜き取ると、
四つの線分ができます。できた線分を三等分して真ん中を抜いていくという操作を無限大にすると、無数の点みたいなものができてきます。
これは非可算無限個ありますが、長さはゼロになります。今、3分の1を抜き取りましたが、抜き取る幅を小さくすると、
長さがゼロではなくて正の長さにできます。なぜ3分の1だからゼロになるかという、その辺は、極限の計算問題になるわけです。
(付記：カントル集合のアニメーションが http://www4.ocn.ne.jp/~arai/lebesgue/cantor1.html にあります。)
三井：皆さんはお分かりになるんですか。私は全然分かりません。先程から、正方形から十字形を抜くとか、3分の1抜くとか、
勝手なことをやって説得しようとされている気がして仕方がないんですけど・・・。
織田：神様と同じ能力を持っているから、そういうことは平気なわけです。
三井：数学は神様なんですか。
＞＞＞ルベーグ積分というのは、直感的に考えても、非常に分かり易いと思っています。
極座標積分で特異点を抜くやり方もありますけど、それより、ルベーグ積分で定義してやったほうが、早くきれいに計算ができます。
今、仰っているのは、連続分断の仕方をいろいろ考えて、無理数がどのようにあるのか計量しようという、計量関数をいろいろと考案されているんだと思います。
無理数の数だけ関数はあるはずですから、大変な作業だと思いますが、数学者の仕事は無尽蔵にあるということで、素晴らしい将来が開けている・・・。
三井：数学者の将来を保証して下さったような・・・。
織田：絶対、失業しない。
三井：無限が妙なところへ行きましたね。
＞＞＞ルベーグ積分ができてから、かなり時間が経っていますけど、もっといい積分論はないんですか。
新井：部分的には、ルベーグ積分を超える理論もないことはないんですが、ルベーグ積分が現代の数学のスタンダードになっていて、
それ以上のものは、今のところありません。私の専門は、実解析学という解析学ですが、この分野では、ルベーグ積分が限界近くまで使いこなされていて、
数学上の未解決問題には、ルベーグ積分を超えた積分を考えないといけないのではないかと言われていますが、残念ながら、
新しい画期的な積分論を作った人はいません。
織田：無限を、新しく悟らないといけない。
＞＞＞ 数学では、一つの作業を無限回続けるということを当たり前のように言いますが、現実の世界では、
途中で気が変わったり、止めたりしてしまいます。数学の中に、途中でランダムな変化が起きて、
無限回の作業が途中で変わるというようなものはあるのでしょうか。
新井：ある一定の規則で操作を続けていくというのではなくて、ランダムに規則を変えていくということは、
実際にありますが、非常に複雑な数学になります。 (付記：これはランダム・フラクタルと呼ばれています。参考文献を一つあげておきます。
K. Falconer, Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications,
John Wiley & Sons Ltd., 1990 の第１５章)
織田：フラクタル図形というのは、海岸線のように非常に不規則な形をしているものをいいます。最近は、Google
Earthのように、地球を上空から見下ろして、どんどん細かく見ていくものがありますけど、
海岸線は、細かくしていくと、でこぼこが同じなんです。昔、"Powers of
Ten"という映画があって、10のべき乗で宇宙空間をどんどん細かく見ていって、
最後は電子の世界まで行くというのがありましたけど、海岸線は、どこまでいっても、でこぼこが消えないから、
そのような海岸線の長さを測ると無限大になります。
三井：フラクタルというのは、どんどん細かくしていっても、同じパターンが見られるというふうに理解していたんですけど、
それでよろしいんですか。
織田：だいたい同じような形です。
＞＞＞実際に、海岸線の長さは無限大になるんですか。
織田：面積はあっても、回りの長さが無限大になるという変なことが起きる。
新井：有限な曲線で長さが無限になるものがあります。例えば、どの点も微分ができないような連続関数のグラフの長さというのは、
たいてい無限大になります。このグラフは曲線ですが、どこをとっても角があるような曲線ですね。どのように作るかというと、先ず、三角形を考えて下さい。
次は、それに小さな三角形の出っ張りを付けて下さい。その出っ張りのところに、また小さい三角形の出っ張りを付けます。
その操作を無限回やりますと、コッホ曲線という曲線になって、長さが無限大になります。
ペアノ曲線という、面積をもつ曲線もあります。曲線をどんどん折り畳むという操作を、例えば、面積が1になるくらいまで、無限回繰り返すというものです。
表面積が無限大になる曲面もあります。
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