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講師： 織田孝幸（おだ・たかゆき）
新井仁之（あらい・ひとし）
日時： 2006年１１月８日 |
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| 数学カフェ 「無限を極める」 |
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三井：なるほど。言いくるめられました。
＞＞＞ 昔、聞いた話ですが、あの人は私より金持ちだと思っているときは、実際に10倍くらい金持ちだということで、
人間の感覚というのは対数的だと言った人がいました。円の外には永久に出られない話とか、コップを落としても割れないという話も、
我々の時間感覚や空間感覚が対数感覚だとすれば、人間の感覚と合っているんじゃないかと思ったんですがね。
＞＞＞点は大きさが無くて、線は点の集まりだと数学の授業で習いましたが、 そういうゼロの点がいくつ集まったら線になるんでしょうか。
織田：それは、ユークリッドの本に書いてあるんですけども、苦し紛れの定義で、実は、数学的な定義ではありません。
その定義をやると、後々、どうしようもなくなってしまうので、今ではもう使いません。本当は、そこの部分は消してしまって、
皆さんの目に触れないようにしたほうがいいと思うんですけど。その後、多くの人が悩んできて、袋小路に陥りまして、
点と線は定義しないのがいいということになった。定義するのは、点と線の関係だけです。公理主義の立場で。点は何ぞやとか、線は何ぞやというのは、
存在論というか形而上学に入りそうですね。それは数学ではなく、形而上学だから、やらないというわけです。
三井：いつ頃、無視することになったのでしょうね。皆さん、そういうふうにお習いになりましたか。
織田：ユークリッドの原論をお読みになると分かるんですけど、証明の中で、線は点の集まりで云々という話は、
一切使っておりません。だから、それは理解を助けるための、ただの例え話だと思って下さい。いくら悩んでみても、そこから何も証明できないし、
何の役にも立たない。
＞＞＞弁護したいんですが、私は、数学を使って会社で仕事をして、お給料をもらってきたから、今まで生きてこられたのです。
そこで、一番お世話になったのは、高さが１で、面積がゼロという関数、つまり、デルタファンクションなんです。
これは実世界で、実に役に立ち、本当に有り難かった。
三井：数学の先生が涙しそうな嬉しいお話じゃないでしょうか。ますます、ルベーグ積分のお話に近づいてきたと思うんですが、
この辺で、そろそろ面積のお話に入ってもよろしいのではないでしょうか。
新井：面積というと、例えば、円の面積はπr2（πは円周率、rは半径）で、長方形の面積は縦掛ける横とかいうふうに、 いろいろな公式は勉強してきたんですけど、では、一般に図形があったときに、その図形の面積とは何かと考えて、ある国語辞典を引いてみました。
そこに、面積は、「広さを表す数値」とありました。そこで、「広さ」とは一体何だろうと思って調べてみたら、今度は、「面積」と書いてあるんですね。
循環論法に陥っているんですが、だいたい日常的には、そんなふうに理解されていると思います。
では、小学校の生徒に、図形の面積とは何かと聞かれたとき、皆さんは何と答えたらよいでしょうか。実は、それを考えるところから、
ルベーグ積分というのが始まっているんです。では、面積というのは、どうやって定義したらいいのでしょうか。
三井：素朴な話から、いきなりルベーグ積分ということで、飛躍があり過ぎるような気がしますけれど。
皆さんは、ルベーグ積分をご存知ですか。
新井：面積とは何かという疑問は昔からあったようですが、それを真剣に考え始めたのは19世紀に入ってからですね。
最初に面積とは何かと考えたときに、例えば、正方形の面積の場合、一辺の長さをaとすると、その面積はa2ですが、 正方形の面積をa2とすると言うより、正方形があったときに、a2を、その正方形の面積と定義するというふうにしたんですね。 つまり、一般的な面積という定義があって、その定義に基づいて計算すると、正方形の面積が縦掛ける横になるのではなくて、
縦掛ける横を面積と定義しましょうというふうに、先ず定めたんですね。
織田：メートル原器みたいに、面積の元になる原器ですね。１メートルはこれだけだと決めないと、
長さの単位が決まらないから測れない。それと同じです。
新井：次に、三角形や円の面積をどのように定義したらよいかを考えました。円の場合は、円の中に小さな正方形を詰め込んで、
その正方形の面積の総和を円の面積というふうにしたいのですが、どうしても隙間ができてしまいますね。
しかし、正方形をどんどん小さくしていけば、隙間もどんどん小さくなる。隙間がどんどん小さくなれば、最後にはゼロになる。
その正方形の総和の面積の極限をとると、πr2という円の面積になるわけです。
三井：小さくなってゼロになったものを集めて、どうして面積になるんですか。
新井：隙間がゼロになるということです。それをイメージすると、小さいタイルをどんどん詰め込んでいくと、
だんだん隙間がなくなって、最後には全く無くなってしまうでしょうということですね。
織田：数学では、無くなってしまうでしょうということではなくて、無くなるということを、責任をもって、証明するんです。
新井：それでルベーグ積分です。今、話したことは、円の面積や円周の長さとか測るときに、昔から使われていた論法ですが、
実は、それでは測れない図形も出てきてしまうんですね。正方形をどんどん小さくしていくと隙間がなくなると言いますが、
隙間というのをどう定義するかというと、またややこしくなるので、それは置いときます。そして、今度は、タイルを円の中にはめ込むのではなくて、
円を包むように置いてみる。それをどんどん縮めていったものと、内側に詰め込んでいったものの値が同じになったら、そこで隙間が無くなったと考えて、
それを円の面積として定義しようということになったわけです。
三井：そのように思えということですか。それとも、必ずなるんですか。
新井：円の場合は、一致することが証明できます。ところが、円ではなくて、もっと複雑な図形になると、
一致しないようなものがたくさんでてきます。例えば、黒板に書けないので残念ですが、大きい正方形を考えてみて下さい。
大きい正方形から、十字の帯を抜いて、小さな正方形を四つ作ります。次に、四つの小さな正方形それぞれから十字の帯を抜くと、
16個の小さな正方形ができます。その操作をどんどん繰り返していくと、最後に、小さな点がごみのように散らばったものができてきます。
そうしてできた図形の内側に正方形を詰め込もうと思っても、どんどん細かく千切っていますから、詰め込むことができません。
だから、面積はゼロです。一方、外側からそれを覆っていく場合には、計算によって、面積が1/4だか何だかになるんですね。
本には図が書いてあるんですが、そういうものがあります（ハルナック集合）。
（付記： ハルナック集合の作り方のアニメーションが http://www4.ocn.ne.jp/~arai/lebesgue/harnack.html にあります．）
今までの話は、19世紀のフランスの数学者、ジョルダン（Camille Jordan, 1838-1922）が考えたものです。
ルベーグは、円の内側から正方形を詰め込むというのを、もう少し発展させて考えました。複雑な形をした壷を例にとりますと、その容積を量るときに、
先ず壷に砂粒を詰め込み、その砂粒をシリンダーに空けて、高さを測り、体積をだすというのがジョルダンの考え方です。
砂粒では、どうしても隙間がてきますので、どんどん小さい砂粒を考えていくわけです。
物理的には、原子や素粒子より小さい砂粒なんてあり得ませんが、数学では、図形はいつでも二つに分割できると考えます。
ルベーグは、砂粒ではなくて水を入れようと考えました。水というのは、物理的には、粒子の集まりですが、連続体として考える。
液体は、砂粒より細かいので、より正確に面積が測れるわけです。しかし、流体を使った面積の理論は、まだありません。
そこでルベーグは、まるで神の御業のように考えたわけです。普通の人間は、長さが一定の小さな砂粒を有限個詰め込むことしかできませんが、
ルベーグは、任意の大きさの砂粒を無限個、一挙に図形の中に押し込んでしまおうと考えました。
（付記：正確には中に押し込むのではなく、砂粒で図形を覆ったのです。厳密な話はたとえば拙著『ルベーグ積分講義』を参照してください。）
先程、無限個の壷の中から、金貨を一挙に全部取り出せるという話をしましたが、それと同じで、人間業ではありませんが、
ルベーグは、それをできると仮定して、面積の話をつくったわけです。これがルベーグ積分の基礎です。
三井：今の話を分かったとして（笑）、ルベーグは、単位というものを無視したわけですね。
新井：数学では、単位は考えません。
織田：１はあるから、単位を無視しているわけじゃない。
新井：長さを１と言ったときに、それが１センチメートルなのか、１メートルなのか、１キロメートルなのかということは、
数学ではあまり考えないで、単に、数字の１ですね。それは、1+2を考えるときに、１個のりんごと２個のりんごを考えているわけではないというのと同じです。
私は、物理が専門でないので分かりませんが、空間というのは不連続なものかもしれないんですけども、ルベーグの理論などの数学の理論では、
空間は連続的であると考えますし、どんな集合も、どんな図形も、二つに分割できると考えます。
一般に単位となるような、これ以上分割できない図形というのは考えません。
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