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講師： 織田孝幸（おだ・たかゆき）
日時： 2006年７月２７日 |
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| 数学カフェ 「素数」 |
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三井： いろいろな所にあるコンピュータを何台も使うというのは、
どこかのコンピュータが信用できないからかと思っていました。
＞＞＞ 最大の素数は、これまでに知られた全ての素数を掛け合わせた数に1を足したものなんですか。
それとも全然違うものなんですか。それから、今、素数はいくつ知られているんですか。
寺杣： 最大の素数というのは、本当の意味で最大の素数ということではなくて、
これまでに分かっている素数よりも大きい素数が見つかったという意味です。また、小さい順にあるところまでの素数を全部掛け合わせて、
それに1をプラスしても、素数でないことはあります。
一番大きな素数は、900万桁だそうです。１千万桁の素数に賞金がかかっていますから、もう一歩ですね。
その一番大きな素数までの素数の数、つまり密度がどれくらいであるかというのは、きれいな法則があって計算できます。
自然対数を使います。でも、それまでの素数がみんな分かっているわけではないですよね。全部を数え上げて分かっているわけではなくて、
だいたいの数が分かっているということです。
織田： 最大の素数Xまでの素数がだいたい何個あるかというのは、
「素数定理（prime number theorem）」という有名な定理があります。X/logX（底はe）という関数を使ったときに、
これくらいの誤差で、これだけの素数がありますというのが分かっています。
三井： この会の参加者の平均年齢は高いんですけど、実は、今日、
中学２年生の方が来ていらっしゃいます（拍手）。きっと、数学がすごく好きだから来ていらっしゃるんじゃないかと思いますが、
質問には「素数の求め方について」と書いてありましたね。今のお話で分かって下さいましたか。
＞＞＞ よく分かりました。
＞＞＞ 既知の素数全てを掛け合わせて１を加えた数が合成数になるというのが分かりません。
合成数になるとすると、素数が無限にあるという証明は誤りだということになりませんか。
織田： 証明では、全ての素数に１を加えた数そのものが素数だといっているわけではなくて、
それを割り切る数の中に新たな素数になるものがあるといっている。それが素数じゃなければ、必ず素数の積に分解されますよね。
その因数のなかに新しい素数がある。その新しい素数を加えたら、また新しい素数ができてくるというふうになっている。
今の証明は背理法で、有限個しかないとしたら矛盾がでてくるということをいっています。
ある数が与えられたとき、その数は素数であるか素数でないか、どちらかですね。素数であれば、そのままですが、素数でなければ、
必ずある数で割れます。つまり、どんな数も素数の積に分解する。最初にそれを言わなかったから、証明が分かり難くなった。
（証明のように、素数の数がこれ以上無いと仮定した場合に全ての素数を掛け合わせて１を加えた数は、
あらゆる素数で割り切れないから、仮定が間違っていることになるというわけで、その数自信が素数になるとは限らない。）
＜お二人の間で、質疑応答が繰り返される。その間に、寺杣さんと中学生の参加者が電卓とコンピュータを使って実例を計算＞
織田： 実例ができました。2×3×5×7×11×13+1=59×509 (30031)です。
2、3、5、7、11、13しか素数が無いとしたときに、これらを掛け合わせて1を加えた数は合成数になって、
59と509という素数の積になりますけど、59も509も新しい素数になっていますね。
三井： 小さい数で具体的に考えるほうが、我々にとっては分かりやすいですね。
ところで、「エラトステネスの篩（ふるい）」という素数の求め方を皆さんにやって頂こうというので、
織田さんが用意して下さったものをお配りします。
織田： 「エラトステネスの篩」の練習問題です。1から100までを（10個ずつ）並べました。
ここから素数だけを残そうというものです。先ず、1ですが、これは素数ではないと定義します。
1で素因数分解しても限りはないので、1は素数にしません。2は素数です。丸をつけて下さい。
それから、2を2倍にした4は素数ではないので、4はバツにしましょう。6も8も10もバツです。
そうやって、2で割れる数、偶数にみんなバツを付けていきます。そうすると、半分消えてしまいます。
縦に消したほうが賢いみたいです（笑）。3はそれより小さい数で割れないから素数です。
そして、3の倍数を消していくんですが、賢い方法は、先ず、3の左斜めの方へ、12、21と消します。
次は、6から左斜めの方へ、15、24、33、42、51と消していきます。中学生がやっています。
皆さんも負けないように頑張って下さい（笑）。9も同じように、18、27、36、45、54、63、72、81といきます。
その次は30から始まるところで、39、48、57、66、75、84、93と消えますね。
次は60からで、69、78、87、96。あとは90で、99かな。そうやって斜めに消していけば、3で割り切れるのは消えました。
ここまではよろしいですか。個人指導に参りましょうか（笑）。
あとは、5が残っていますね。5は素数ですから丸を付けて下さい。
5で割れる数の10、20、30・・・というのは、全部消してしまっている。
5の下に並んでいる15から95まで消して下さい。7は残っていますね。１桁の数では、2、3、5、7が素数です。
他に残っている11、13、17、19、23も割り切れないから、素数ですね。練習問題はこの辺にしておきます。
一番下に正解が書いてありますので、比較してご覧下さい。
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